0. 引入

注意：本章中未注明的矩阵均为 \(\mathbb{F}^{n\times n}\) 的方阵，未标注范围的 \(i\) 均为 \(i=1,2,\ldots ,n\)。

引入：计算矩阵的高次幂

如果 \(A,B\) 满足 \(B=T^{-1}AT\)，那么 \(B^k = T^{-1}A^kT\)

推广：\(f(x)\in \mathbb{F}[x]\)，如果 \(A,B\) 满足 \(B=T^{-1}AT\)，那么 \(f(B) = T^{-1}f(A)T\)

如果 \(A\) 很简单，比如是对角阵 \(\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}\)，那么 \(B = T^{-1}\begin{pmatrix}f(\lambda_1) \\ & \ddots \\ & & f(\lambda_n)\end{pmatrix}T\)，这大大简化了矩阵高次幂的计算。本章研究矩阵的这种性质，并寻求一个方阵相似于对角阵的条件。