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1. 相似的概念

相似矩阵

定义 \(A\) 相似于 \(B\)，记为 \(A\sim B \iff \exists~ T, \text{ s.t. } B=T^{-1}AT\)

当然，\(T\) 得是可逆矩阵。

性质

矩阵相似是一种等价关系，这是它作为等价关系所具有的性质

  1. 自反性 \(A\sim A\)
  2. 对称性 \(A\sim B \implies B\sim A\)
  3. 传递性 \(A\sim B, B\sim C \implies A\sim C\)

注：（From Wikipedia）等价关系（equivalence relation）即设 \(R\) 是某个集合 \(A\) 上的一个二元关系。若 \(R\) 满足以下条件：

  1. 自反性： \(\forall~ x\in A,~xRx\)
  2. 对称性： \(\forall~ x,y\in A,~xRy\implies yRx\)
  3. 传递性： \(\forall~ x,y,z\in A,~(xRy \wedge yRz) \implies xRz\)

则称 \(R\) 是一个定义在 \(A\) 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由 \(R\) 改写为 \(\sim\)。

把相似矩阵和准对角矩阵联系起来，还可以得到这样的性质

\[ A_i \sim B_i,~i=1,\ldots,n \implies \begin{pmatrix}A_1 \\ & \ddots \\ & & A_n\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}B_1 \\ & \ddots \\ & & B_n\end{pmatrix} \]

以上性质都可以由定义直接推导。

相似于对角阵的条件

先从结果出发，看看能推出什么性质。

若 \(A\) 相似于对角阵，设 \(A\sim \begin{pmatrix}\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}\)，根据相似矩阵的定义，存在可逆矩阵 \(T\) 使得

\[ T^{-1}AT = \begin{pmatrix}\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{pmatrix} \]

那么可以推出

\[ AT = \begin{pmatrix}\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}T \]

设 \(T = (\alpha_1,\ldots ,\alpha_n)\)，则

\[ \left(A\alpha_1,\ldots ,A\alpha_n\right) = \left(\lambda_1\alpha_1,\ldots ,\lambda_n\alpha_n\right) \]
\[ A\alpha_i = \lambda \alpha_i, ~i=1,2,\ldots ,n \]

上述过程逆推也是成立的，所以我们得到相似于对角阵的一个等价表述

定理 \(A\) 相似于对角阵 \(\iff\) 存在 \(n\) 个线性无关的向量 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\) 满足 \(A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i\)，且此时与 \(A\) 相似的对角矩阵的对角线上的元素为 \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n\)

例 5.1 设 \(A=\begin{pmatrix}a & b \\ b & a\end{pmatrix}\)，求一个与 \(A\) 相似的对角阵，并计算 \(A^n\)。

注意到 \(A\) 满足

\[ A\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = (a+b)\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} ,\quad A\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} = (a-b)\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} \]

由于 \(\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\) 线性无关，\(T=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\) 有逆 \({T}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)，从而

\[ \begin{aligned} T^{-1} A T &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} a+b & a+b \\ a-b & b-a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a-b \end{pmatrix} \end{aligned} \]

故有

\[ A=T\begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a-b \end{pmatrix} T^{-1} \]

进而

\[ \begin{aligned} A^{n} &=T\begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}^{n} T^{-1} \\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (a+b)^{n} & 0 \\ 0 & (a-b)^{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \end{aligned} \]

其中 \(x=\dfrac{(a+b)^{n}+(a-b)^{n}}{2}\)，\(y=\dfrac{(a+b)^{n}-(a-b)^{n}}{2}\)。

与此例题类似的课后习题：P178 10, P179 21