5. 向量的内积

引入

仿照平面几何于几何空间中向量的内积，本节引进 \(n\) 维向量的内积，从而推导出向量的长度与正交化的概念。

共轭矩阵

定义设 \(A=(a_{ij})_{s\times n}\in\mathbb{C}^{s\times n}\)，称 \(\bar{A}=(\overline{a_{ij}})\) 为 \(A\) 的共轭矩阵。例如：

\[ \overline{\begin{pmatrix}3 & 3+\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 2-\mathrm{i}\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix}3 & 3-\mathrm{i} \\ -\mathrm{i} & 2+\mathrm{i}\end{pmatrix} \]

由复述运算的性质，易得：

\(\overline{(\overline A)}\)
\(\overline{kA} = \bar k \overline{A}\)
\(\overline{A^\mathrm{T}} = (\overline{A}) ^\mathrm{T}\)
\(\overline{A+B} = \overline{A}+\overline{B}\)
\(\overline{AB} = \overline{A}\,\overline{B}\)
若 \(A\) 可逆，则 \(\overline{A^{-1}}=(\overline{A})^{-1}\)

向量的内积

定义设 \(\alpha=\begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix},~ \beta = \begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\) 是两个 \(n\) 维列向量，称数 \(\overline{\alpha^\mathrm{T}}\cdot\beta=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}=\sum\limits_{i=1}^{n} \overline{a_i}b_i\) 为向量 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的内积，记成 \([\alpha,\beta]\)。例如：

\[ \begin{aligned} &\left[\begin{pmatrix}1+\mathrm{i} \\ 2 \\ 2-\mathrm{i}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\mathrm{i} \\ -2 \\ 2-\mathrm{i}\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}\overline{1+\mathrm{i}} & \overline{2} & \overline{2-\mathrm{i}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{i} \\ -2 \\ 2-\mathrm{i}\end{pmatrix} \\ ={}&(1-\mathrm{i})\mathrm{i}+2(-2)+(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=2+\mathrm{i} \end{aligned} \]

性质

\([\alpha,0]=[0,\beta]=0\)
\([\beta,\alpha]=\overline{[\alpha,\beta]}\)
\([\alpha,l_1\beta_1+l_2\beta_2]=l_1[\alpha,\beta_1]+l_2[\alpha,\beta_2]\)
\([k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta]=\overline{k_1}[\alpha_1,\beta]+\overline{k_2}[\alpha_2,\beta]\)
\([\alpha,\alpha]\) 是非负实数，且 \([\alpha,\alpha]=0\iff \alpha=0\)

这些性质都可以由定义计算得到。如 \([\alpha,\alpha]=\sum\limits_{i=1}^{n} \overline{a_i}a_i = \sum\limits_{i=1}^{n} |a_i|^2\ge 0\)，且 \([\alpha,\alpha]=0\iff |a_i|=0,~ i=1,\ldots ,n\iff a_i=0,~ i=1,\ldots ,n\iff \alpha=0\)。

向量的长度

定义称非负实数 \(\sqrt{[\alpha,\alpha]}\) 为 \(\alpha\) 的长度，记成 \(\lVert\alpha\rVert\)。

例如，\(\alpha=\begin{pmatrix}2+\mathrm{i} \\ 3 \\ -2\mathrm{i}\end{pmatrix}\)，则 \(\lVert \alpha\rVert=\sqrt{5+9+4}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

注：《大学代数》一书中答案误写为 \(2\sqrt{3}\)。

性质

\(\lVert\alpha\rVert\ge0\)，且 \(\lVert\alpha\rVert=0\iff \alpha=0\)
\(\lVert k\alpha\rVert=|k|\cdot\lVert\alpha\rVert\)

定义长度为 \(1\) 的向量称为单位向量。若 \(\alpha\neq 0\)，用 \(\frac{1}{\lVert \alpha\rVert}\) 乘非零向量 \(\alpha\) 的过程称为单位化运算。

例如，把 \(\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}\) 单位化，得单位向量 \(\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix}\)

正交

定义若 \([\alpha,\beta]=0\)，则称向量 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 正交。显然，零向量与任何向量正交。

定义两两正交的非零向量组称为正交组，由单位向量组成的正交组称为标准正交组。

例如，\(\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\[4pt] \frac{2}{3} \\[4pt] \frac{2}{3}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\[4pt] \frac{1}{3} \\[4pt] -\frac{2}{3}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\[4pt] -\frac{2}{3} \\[4pt] \frac{1}{3}\end{pmatrix}\) 是标准正交组。\(\varepsilon_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},\ldots ,\varepsilon_n=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\) 是标准正交组。

命题向量组 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_s\) 是标准正交组 \(\iff [a_i,a_j]=\delta_{ij},~ i,j=1,2,\ldots ,s\iff([a_i,a_j])_{s\times s}=E_s\)

命题