1. 二次型的矩阵形式

二次型与它的矩阵

定义 设 \(\mathbb{F}\) 是数域。\(\mathbb{F}[x]\) 中的关于 \(x_1,x_2,\ldots ,x_n\) 的二次齐次多项式

\[ f\left(x_1,\ldots ,x_n\right)= \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2 + 2\sum\limits_{1\le i<j\le n} a_{ij}x_ix_j \]

称为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 元二次型，简称二次型。

例如，\(x_1^2+3x_2^2-7x_3^2+4x_1x_2-6x_1x_3+12x_2x_3\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的一个三元二次型。

\(i>j\) 时，补充定义 \(a_{ij}=a_{ji}\)，则 \(f(x_1,\ldots ,x_n)\) 可以写成 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j\)（这也是二次型的定义中要在 \(\sum\limits_{1\le i<j\le n} a_{ij}x_ix_j\) 前面留一个 \(2\) 的原因）。

这样，我们就可以用矩阵来表示二次型。令 \(X=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\)，\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，则

\[ \begin{aligned} X^\mathrm{T}AX &= \begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix}(a_{ij})_{n\times n} \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sum\limits_{j=1}^{n} a_{1j}x_j \\ \vdots \\ \sum\limits_{j=1}^{n} a_{nj}x_j \end{pmatrix} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j = f(x_1,\ldots ,x_n) \end{aligned} \]

所以我们称 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) 为二次型 \(f\) 的矩阵。由于 \(a_{ij}=a_{ji}\) ，所以 \(A^\mathrm{T}=A\) ，即二次型的矩阵 \(A\) 为对称阵。

例如， \(3x_1^2-4x_1x_2+6x_1x_3+x_2^2+8x_2x_3+7x_3^2 = \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\)。

因为二次型 \(X^\mathrm{T}AX\) 的矩阵 \(A\) 的元素 \(a_{ij}\) 在 \(i\neq j\) 时是 \(x_{ij}\) 项的系数的一半，在 \(i=j\) 时是 \(x_i^2\) 的系数，所以二次型的矩阵是唯一的，即若二次型 \(f(x_1,\ldots ,x_n)=X^\mathrm{T}AX=X^\mathrm{T}BX\) 且 \(A^\mathrm{T}=A,B^\mathrm{T}=B\)，则有 \(A=B\)。

二次型的满秩线性变换

定义 设 \(x_1,\ldots ,x_n\) 与 \(y_1,\ldots ,y_n\) 是两组字母，系数 \(t_{ij}\in\mathbb{F}\)，

\[ \left\{\begin{aligned} x_1 &= t_{11}y_1+\cdots +t_{1n}y_n \\ \vdots \\ x_n &= t_{n1}y_1+\cdots +t_{nn}y_n \\ \end{aligned} \right. \]

称为由 \(x_1,\ldots ,x_n\) 到 \(y_1,\ldots ,y_n\) 的一个线性变换，简称线性变换。如果系数行列式 \(|T|\neq 0\)，则称为满秩线性变换。此时矩阵 \(T\) 可逆，\(Y=T^{-1}X\)；\(x_1,\ldots ,x_n\) 是 \(y_1,\ldots ,y_n\) 的一次齐式，\(y_1,\ldots ,y_n\) 也是 \(x_1,\ldots ,x_n\) 的一次齐式。

若把

定义

推论

性质

证

定义

引理

证

命题